概率统计第十讲：特征函数——一维与多维特征函数的定义、性质及应用¶

1 引言¶

概率母函数 \(E z^X = \sum_{n=1}^{\infty} P(X=n) z^n\) 是研究 非负整值 随机变量的有力工具。将 \(z\) 替换为 \(e^t\) 就得到矩母函数 \(E e^{tX}\)，它能承载概率母函数的所有良好性质，并且对更一般的随机变量也有定义。

但在计算矩 \(EX^n\) 时，矩母函数不如概率母函数方便；更关键的是，\(e^{tX}\) 可能没有收敛的数学期望。若将 \(z\) 进一步设为复数 \(e^{it}\)（\(i = \sqrt{-1}\)），则得到 特征函数 \(\phi_X(t) = E e^{itX}\)。

此时，对一切实随机变量都有定义（\(|e^{itX}| = 1\)），且能继承概率母函数和矩母函数的所有良好性质。代价是需要在复数域上操作，尤其在计算期望涉及积分时。

历史注记

虚数单位 \(i = \sqrt{-1}\) 最早出现在意大利数学家 Cardan 的三次方程求根公式中，但他称之为"矫揉造作、毫无用处"。瑞士数学家 Euler 在 1770 年的《代数全书》中大量使用虚数，并指出"形如 \(\sqrt{-1}\)、\(\sqrt{-2}\) 的数学式子，都不对应实数，因为它们表示的是负数的平方根——对于这类数，我们只能断言：它们既不是无，也不大于无，也不小于无——这构成了它们的虚幻"。

2 一维特征函数¶

2.1 定义¶

定义 2.1（特征函数）

称 \(\phi_X(t) = E e^{itX}\)（\(i^2 = -1\)）为随机变量 \(X\) 的 特征函数（characteristic function）。

具体地：

若 \(X\) 是 离散型 随机变量，则 \(X\) 的特征函数为

\[ \phi(t) = \sum_k e^{it x_k} p_k. \]

若 \(X\) 是 连续型 随机变量，其概率密度函数为 \(p(x)\)，则 \(X\) 的特征函数为

\[ \phi_X(t) = \int_{\mathbb{R}} e^{itx} p(x)\,\mathrm{d}x = \int_{\mathbb{R}} \cos(tx) p(x)\,\mathrm{d}x + i \int_{\mathbb{R}} \sin(tx) p(x)\,\mathrm{d}x. \]

即 \(\phi_X\) 是 \(p\) 的 Fourier 变换。

定理 2.1（唯一性定理）

分布函数 \(F(x)\) 和特征函数 \(\phi(t)\) 之间是 相互唯一确定 的。

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2.2 离散型特征函数举例¶

例 2.1：单点分布（退化分布）

若 \(X\) 服从单点分布 \(P(X = a) = 1\)，则 \(\phi_X(t) = e^{iat}\)。

例 2.2：Bernoulli 分布

若 \(X \sim b(1, p)\)，则

\[ \phi_X(t) = e^{it \cdot 0} q + e^{it \cdot 1} p = q + pe^{it}. \]

例 2.3：几何分布

若 \(X \sim G(p)\)（\(P(X = k) = pq^{k-1},\, k = 1, 2, \dots\)），则

\[ \phi_X(t) = \sum_{k=1}^{\infty} e^{itk} pq^{k-1} = pe^{it} \sum_{k=0}^{\infty} \left(qe^{it}\right)^k = \frac{pe^{it}}{1 - qe^{it}}. \]

例 2.4：Poisson 分布

若 \(X\) 服从参数为 \(\lambda\) 的 Poisson 分布 \(P(\lambda)\)，则

\[ \phi_X(t) = \sum_{k=0}^{\infty} e^{itk} \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} = e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(\lambda e^{it})^k}{k!} = e^{\lambda(e^{it} - 1)}. \]

2.3 连续型特征函数举例¶

例 2.5：均匀分布 \(U(-1, 1)\)

若 \(X\) 服从 \((-1, 1)\) 上的均匀分布，则

\[ \phi_X(t) = \int_{-1}^{1} e^{itx} \frac{1}{2}\,\mathrm{d}x = \int_{0}^{1} \cos(tx)\,\mathrm{d}x = \frac{\sin t}{t}. \]

例 2.6：指数分布

若 \(X\) 服从参数为 \(\lambda\) 的指数分布 \(\mathrm{Exp}(\lambda)\)，则

\[ \phi_X(t) = \int_{0}^{\infty} e^{itx} \lambda e^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x = \lambda \int_{0}^{\infty} e^{(it - \lambda)x}\,\mathrm{d}x = \frac{\lambda}{\lambda - it} = \left(1 - \frac{it}{\lambda}\right)^{-1}. \]

例 2.7：标准正态分布 \(N(0, 1)\)

若 \(X \sim N(0, 1)\)，则

\[ \phi_X(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}\,\mathrm{d}x = 2 \int_{0}^{\infty} \cos(tx) \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}\,\mathrm{d}x. \]

对 \(\phi_X(t)\) 求导：

\[ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\phi_X(t) &= -2 \int_{0}^{\infty} x \sin(tx) \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}\,\mathrm{d}x \\ &= 2 \int_{0}^{\infty} \sin(tx)\,\mathrm{d}\!\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}\right) \\ &= -2t \int_{0}^{\infty} \cos(tx) \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}\,\mathrm{d}x = -t \phi_X(t). \end{aligned} \]

结合 \(\phi_X(0) = 1\)，解微分方程得 \(\phi_X(t) = e^{-t^2/2}\)。

2.4 特征函数的性质¶

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性质 1（有界性）

\(|\phi_X(t)| \le \phi_X(0) = 1\)。

证明

\(|\phi_X(t)| = |E e^{itX}| \le E|e^{itX}| = E(1) = 1 = \phi_X(0)\)。\(\square\)

性质 2（共轭对称性）

\(\phi_X(t) = \overline{\phi_X(-t)} = \phi_{-X}(t)\)。

证明

\(\phi_X(t) = E e^{itX} = \overline{E e^{-itX}} = \overline{\phi_X(-t)}\)。又 \(\overline{\phi_X(-t)} = E e^{-itX} = \phi_{-X}(t)\)。\(\square\)

性质 3（实偶性）

\(\phi_X(t)\) 是 实偶函数 当且仅当 \(X\) 具有对称分布 \(F_X(x) = F_{-X}(x)\)，即 \(F_X\) 图像关于 \((0, 1/2)\) 中心对称（若 \(X\) 为连续型）。

证明

\(\phi_X(t)\) 是实值函数 \(\Leftrightarrow\) \(\phi_X(t) = \overline{\phi_X(t)} = \phi_X(-t) = \phi_{-X}(t)\) \(\Leftrightarrow\) \(F_X(x) = F_{-X}(x) = P(-X \le x) = P(X \ge -x) = 1 - F_X(-x)\)，即 \(F_X\) 图像关于 \((0, 1/2)\) 中心对称。\(\square\)

性质 4（线性变换）

\(\phi_{aX+b}(t) = e^{ibt} \phi_X(at)\)。

证明

\(\phi_{aX+b}(t) = E e^{it(aX+b)} = e^{ibt} E e^{i(at)X} = e^{ibt} \phi_X(at)\)。\(\square\)

性质 5（独立和的乘积性）

若 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立，则 \(\phi_{X+Y}(t) = \phi_X(t) \phi_Y(t)\)。

证明

\(\phi_{X+Y}(t) = E e^{it(X+Y)} = E(e^{itX} e^{itY}) = E e^{itX} \cdot E e^{itY} = \phi_X(t) \phi_Y(t)\)。\(\square\)

性质 6（一致连续性）

\(\phi_X(t)\) 关于 \(t\) 在 \(\mathbb{R}\) 上 一致连续。

证明

\[ \begin{aligned} |\phi_X(t+h) - \phi_X(t)| &= \left|E\left(e^{i(t+h)X} - e^{itX}\right)\right| \\ &\le E\left|e^{itX}\left(e^{ihX} - 1\right)\right| = E\left|e^{ihX} - 1\right| \to 0,\quad h \to 0. \end{aligned} \]

由控制收敛定理，\(h \to 0\) 时 \(|e^{ihX} - 1| \le 2\) 且 \(e^{ihX} - 1 \to 0\)，故期望趋于 \(0\)。上界与 \(t\) 无关，故一致连续。\(\square\)

性质 7（非负定性 / Bochner-Khinchin 条件）

对任意正整数 \(n\)、任意实数 \(t_1, \dots, t_n\)，\(n\) 阶复矩阵 \((\phi_X(t_j - t_k))_{j,k}\) 是一个 非负定 Hermite 矩阵：对任意复数 \(z_1, \dots, z_n\)，

\[ \sum_{j,k=1}^{n} \phi_X(t_j - t_k) z_j \overline{z_k} \ge 0. \]

证明

设 \(X\) 有密度 \(p(x)\)（离散型同理），则

\[ \begin{aligned} \sum_{j,k=1}^{n} \phi_X(t_j - t_k) z_j \overline{z_k} &= \sum_{j,k=1}^{n} z_j \overline{z_k} \int_{\mathbb{R}} e^{i(t_j - t_k)x} p(x)\,\mathrm{d}x \\ &= \int_{\mathbb{R}} \left(\sum_{j=1}^{n} z_j e^{it_j x}\right) \left(\sum_{k=1}^{n} \overline{z_k} e^{-it_k x}\right) p(x)\,\mathrm{d}x \\ &= \int_{\mathbb{R}} \left|\sum_{j=1}^{n} z_j e^{it_j x}\right|^2 p(x)\,\mathrm{d}x \ge 0. \end{aligned} \]

\(\square\)

定理 2.2（Bochner-Khinchin 定理）

若连续函数 \(\phi: \mathbb{R} \to \mathbb{C}\) 满足 \(\phi(0) = 1\)，则 \(\phi\) 是某个随机变量的特征函数 当且仅当 \(\phi\) 满足非负定性条件（性质 7）。

Bochner-Khinchin 定理给出了特征函数的 充要条件，是特征函数理论的基石——它告诉我们只需验证 \(\phi(0) = 1\) 和非负定性，就能判定一个函数是否为特征函数。

2.5 特征函数性质的应用¶

例 2.8：二项分布的特征函数

设 \(X \sim b(n, p)\)，则存在 i.i.d. \(X_1, \dots, X_n \sim b(1, p)\) 使 \(X = X_1 + \cdots + X_n\)。于是

\[ \phi_X(t) = \prod_{k=1}^{n} \phi_{X_k}(t) = (q + pe^{it})^n. \]

例 2.9：均匀分布 \(U(a, b)\) 的特征函数

设 \(X \sim U(a, b)\)，令 \(Y = \dfrac{X - \frac{a+b}{2}}{(b-a)/2} \sim U(-1, 1)\)，则

\[ \phi_X(t) = \phi_{\frac{b-a}{2}Y + \frac{a+b}{2}}(t) = e^{i\frac{a+b}{2}t} \phi_Y\!\left(\frac{b-a}{2}t\right) = e^{i\frac{a+b}{2}t} \frac{\sin\!\left(\frac{b-a}{2}t\right)}{\frac{b-a}{2}t}. \]

当 \(b = -a\) 时，\(X\) 具有对称分布，\(\phi_X(t)\) 是实偶函数。

例 2.10：一般正态分布 \(N(\mu, \sigma^2)\) 的特征函数

设 \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)，令 \(Y = (X - \mu)/\sigma \sim N(0, 1)\)，则

\[ \phi_X(t) = \phi_{\sigma Y + \mu}(t) = e^{i\mu t} \phi_Y(\sigma t) = e^{i\mu t - \frac{\sigma^2 t^2}{2}}. \]

当 \(\mu = 0\) 时，\(X\) 具有对称分布，\(\phi_X(t)\) 是实偶函数。

例 2.11：Gamma 分布的特征函数

设 \(X \sim \Gamma(n, \lambda)\)，则存在 i.i.d. \(X_1, \dots, X_n \sim \mathrm{Exp}(\lambda)\) 使 \(X = \sum_{k=1}^{n} X_k\)，于是

\[ \phi_X(t) = \prod_{k=1}^{n} \phi_{X_k}(t) = \phi_{X_1}^n(t) = (1 - it/\lambda)^{-n}. \]

特别地，\(\chi^2(n) = \Gamma(n/2, 1/2)\)，故 \(\phi_X(t) = (1 - 2it)^{-n/2}\)。

例 2.12：独立 Poisson 变量之和

设 \(X_1, \dots, X_n\) 相互独立，\(X_k \sim P(\lambda_k)\)，\(\lambda_k > 0\)，则

\[ \phi_{\sum X_k}(t) = \prod_{k=1}^{n} \phi_{X_k}(t) = \prod_{k=1}^{n} e^{\lambda_k(e^{it}-1)} = \exp\!\left(\sum_{k=1}^{n} \lambda_k (e^{it} - 1)\right). \]

故 \(\sum_{k=1}^{n} X_k\) 服从参数为 \(\sum_{k=1}^{n} \lambda_k\) 的 Poisson 分布——Poisson 分布对独立和封闭。

例 2.13：独立正态变量的线性组合

设 \(X_1, \dots, X_n\) 相互独立，\(X_k \sim N(\mu_k, \sigma_k^2)\)，令 \(X = b + \sum_{k=1}^{n} a_k X_k\)（\(a_1, \dots, a_n\) 不全为零），则

\[ \begin{aligned} \phi_X(t) &= e^{ibt} \prod_{k=1}^{n} \phi_{X_k}(a_k t) = e^{ibt} \prod_{k=1}^{n} e^{i\mu_k a_k t - \frac{1}{2}\sigma_k^2 a_k^2 t^2} \\ &= \exp\!\left(i\mu t - \frac{1}{2}\sigma^2 t^2\right), \end{aligned} \]

其中 \(\mu = b + \sum_{k=1}^{n} a_k \mu_k\)，\(\sigma^2 = \sum_{k=1}^{n} a_k^2 \sigma_k^2\)。故

\[ X = b + \sum_{k=1}^{n} a_k X_k \sim N(\mu, \sigma^2). \]

即 正态分布的线性组合仍是正态分布。

2.6 特征函数与矩¶

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利用特征函数在 \(t = 0\) 处的 Taylor 展开可以求得 \(X\) 的各阶矩：

\[ \phi_X(t) = E e^{itX} = E\!\left[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(itX)^n}{n!}\right] \;\text{「}=\text{」}\; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{i^n E(X^n)}{n!} t^n. \]

另一方面，

\[ \phi_X(t) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\phi^{(n)}(0)}{n!} t^n. \]

比较系数：\(E(X^n) = i^{-n} \phi_X^{(n)}(0)\)。

另一种方式是通过直接求导：若求导与期望可交换，则

\[ \phi'_X(t) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} E(e^{itX}) \;\text{「}=\text{」}\; E(iX e^{itX}). \]

一般地，若 \(\phi_X(t)\) 有 \(n\) 阶导数，则 \(\phi_X^{(n)}(t) \;\text{「}=\text{」}\; E[(iX)^n e^{itX}]\)。

定理 2.3（特征函数与矩的关系）

若 \(E|X|^k < +\infty\)，则对 \(j = 1, 2, \dots, k\)，有

\[ \phi_X^{(j)}(t) = E\!\left[(iX)^j e^{itX}\right], \]

且

\[ \phi_X(t) = \sum_{j=0}^{k} \frac{(it)^j}{j!} EX^j + o(t^k). \]

若 \(\phi_X^{(2n)}(0)\) 存在，则 \(EX^{2n}\) 存在。

注意

定理 2.3 的 (2) 指出：若 偶数阶 特征函数导数在 \(0\) 存在，则该阶矩存在。奇数阶不保证：例如 \(t = 0\) 处一阶导数存在不意味着期望存在。

例 2.14：正态分布 \(N(\mu, \sigma^2)\) 的矩

已知 \(\phi(t) = \exp(i\mu t - \frac{1}{2}\sigma^2 t^2)\)。展开至 \(t^3\)：

\[ \begin{aligned} \phi(t) &= 1 + \left(i\mu t - \frac{1}{2}\sigma^2 t^2\right) + \frac{1}{2!}\left(i\mu t - \frac{1}{2}\sigma^2 t^2\right)^2 + \frac{1}{3!}\left(i\mu t - \frac{1}{2}\sigma^2 t^2\right)^3 + o(t^3) \\ &= 1 + i\mu t - \frac{1}{2}(\sigma^2 + \mu^2)t^2 - \frac{i}{6}(3\mu\sigma^2 + \mu^3)t^3 + o(t^3). \end{aligned} \]

比较系数：

\[ iEX = i\mu,\quad \frac{i^2 EX^2}{2!} = -\frac{1}{2}(\sigma^2 + \mu^2),\quad \frac{i^3 EX^3}{3!} = -\frac{i}{6}(3\mu\sigma^2 + \mu^3). \]

解得 \(EX = \mu\)，\(EX^2 = \sigma^2 + \mu^2\)，\(EX^3 = \mu(3\sigma^2 + \mu^2)\)，从而

\[ \operatorname{Var}(X) = EX^2 - (EX)^2 = \sigma^2. \]

2.7 特征函数与分布¶

定理 2.4（唯一性定理 / 反演公式）

设 \(F(x)\) 和 \(\phi(t)\) 分别是随机变量 \(X\) 的分布函数和特征函数，则对分布函数 \(F(x)\) 的任意连续点 \(x, y\)，有

\[ F(x) - F(y) = \frac{1}{2\pi} \lim_{T \to \infty} \int_{-T}^{T} \frac{e^{-ity} - e^{-itx}}{it} \phi(t)\,\mathrm{d}t. \]

定理 2.5（Fourier 反演 / 反转公式）

若连续型随机变量 \(X\) 的特征函数 \(\phi(t)\) 绝对可积，则 \(X\) 的密度函数 \(p\) 是 \(\phi\) 的 Fourier 逆变换：

\[ p(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-itx} \phi(t)\,\mathrm{d}t. \]

例 2.15：判定并还原特征函数

判断 \(\phi(t) = \dfrac{1}{1+it}\) 是否为特征函数；若是，求出相应的随机变量。

方法一（Bochner-Khinchin）：验证 \(\phi(0)=1\) 和非负定性。

方法二（Fourier 反演）：对 \(\phi(t)\) 做 Fourier 逆变换，看是否得到密度函数。

方法三（已知结果）：已知 \(X \sim \mathrm{Exp}(1)\) 时 \(\phi_X(t) = \frac{1}{1-it}\)，故

\[ \phi(t) = \phi_X(-t) = \phi_{-X}(t) \]

是 \(-X\) 的特征函数，而 \(-X\) 的分布为：密度 \(p(x) = e^x\) 支撑在 \((-\infty, 0]\) 上。

2.8 连续性定理与弱收敛¶

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定理 2.6（连续性定理 / Lévy-Cramér 连续性定理）

设 \(F_n, F\) 是概率分布函数，\(\phi_n, \phi\) 是相应的特征函数。则

\[ \lim_{n \to \infty} \phi_n(t) = \phi(t), \quad \forall t \in \mathbb{R} \]

当且仅当

\[ \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F(x), \quad \forall F \text{ 的连续点 } x \in \mathbb{R}. \]

连续性定理是特征函数最重要的应用之一：分布函数列的 弱收敛 等价于特征函数列的 逐点收敛，使得中心极限定理等极限定理的证明大为简化。

定理 2.7（Poisson 极限定理）

设 \(X_n\) 服从二项分布 \(b(n, p_n)\)，其中 \(\lim\limits_{n \to \infty} np_n = \lambda > 0\)。则当 \(n\) 充分大时，\(X_n\) 近似服从参数为 \(\lambda\) 的 Poisson 分布。

证明（用特征函数）

已知二项分布 \(b(n, p)\) 的特征函数为 \((q + pe^{it})^n\)：

\[ \begin{aligned} \phi_{X_n}(t) &= \left(p_n e^{it} + q_n\right)^n = \left(1 + p_n(e^{it} - 1)\right)^n = \left(1 + \frac{np_n}{n}(e^{it} - 1)\right)^n \\ &= \left[1 + \frac{\lambda + o(1)}{n}(e^{it} - 1)\right]^n = \left[1 + \frac{\lambda(e^{it} - 1)}{n} + o\!\left(\frac{1}{n}\right)\right]^n \\ &\to e^{\lambda(e^{it} - 1)}, \quad n \to \infty. \end{aligned} \]

而 \(e^{\lambda(e^{it} - 1)}\) 正是参数为 \(\lambda\) 的 Poisson 分布的特征函数。由连续性定理即得分布函数的弱收敛。特别地，对任意非负整数 \(k\)，取 \(a \in (k-1, k)\)，\(b \in (k, k+1)\)，有

\[ P(X_n = k) = F_{X_n}(b) - F_{X_n}(a) \to F(b) - F(a) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}. \]

\(\square\)

3 多维特征函数¶

3.1 定义¶

定义 3.1（多维特征函数）

对随机向量 \(\mathbf{X} = (X_1, \dots, X_n)^{\mathsf{T}}\)，\(\mathbf{t} = (t_1, \dots, t_n)^{\mathsf{T}} \in \mathbb{R}^n\)，称

\[ \phi_{\mathbf{X}}(\mathbf{t}) = E e^{i\mathbf{t}^{\mathsf{T}} \mathbf{X}} = E e^{i(t_1 X_1 + \cdots + t_n X_n)} \]

为 \(\mathbf{X}\) 的 特征函数（也称 \(X_1, \dots, X_n\) 的 联合特征函数）。

3.2 多维特征函数的性质¶

性质 8（降维关系）

\(\phi_{\mathbf{X}}(\mathbf{t}) = \phi_{\mathbf{t}^{\mathsf{T}}\mathbf{X}}(1)\)。即多维特征函数在 \(\mathbf{t}\) 处的值 = 一维线性组合 \(\mathbf{t}^{\mathsf{T}}\mathbf{X}\) 的特征函数在 \(1\) 处的值。

性质 9（仿射变换）

\[ \phi_{A\mathbf{X} + \mathbf{b}}(\mathbf{t}) = e^{i\mathbf{t}^{\mathsf{T}}\mathbf{b}} \phi_{\mathbf{X}}(A^{\mathsf{T}}\mathbf{t}). \]

性质 10（独立性定理，见 3.3）

性质 11（唯一性定理）

分布函数与特征函数相互唯一确定。

性质 12（连续性定理）

特征函数逐点收敛 \(\Leftrightarrow\) 分布函数弱收敛。

性质 13（混合矩公式）

\[ \frac{\partial^{\alpha_1 + \cdots + \alpha_n}}{\partial t_1^{\alpha_1} \cdots \partial t_n^{\alpha_n}} \phi_{\mathbf{X}}(\mathbf{0}) = i^{\alpha_1 + \cdots + \alpha_n} E\!\left(X_1^{\alpha_1} \cdots X_n^{\alpha_n}\right). \]

3.3 特征函数与独立性¶

定理 3.1（独立性等价条件）

随机变量 \(X_1, \dots, X_n\) 相互独立 当且仅当

\[ \phi_{(X_1, \dots, X_n)}(t_1, \dots, t_n) = \prod_{k=1}^{n} \phi_{X_k}(t_k), \quad \forall t_1, \dots, t_n \in \mathbb{R}. \]

证明

（\(\Rightarrow\)） 若 \(X_1, \dots, X_n\) 相互独立，则

\[ \phi(t_1, \dots, t_n) = E e^{i\mathbf{t}^{\mathsf{T}}\mathbf{X}} = E\!\left[\prod_{j=1}^{n} e^{it_j X_j}\right] = \prod_{j=1}^{n} E e^{it_j X_j} = \prod_{j=1}^{n} \phi_{X_j}(t_j). \]

（\(\Leftarrow\)） 构造 \(Y_1, \dots, Y_n\) 为相互独立的随机变量，且 \(Y_k\) 与 \(X_k\) 同分布。则 \(\phi_{Y_k} = \phi_{X_k}\)，且由必要性有

\[ \phi_{(Y_1,\dots,Y_n)}(t_1, \dots, t_n) = \prod_{j=1}^{n} \phi_{Y_j}(t_j) = \prod_{j=1}^{n} \phi_{X_j}(t_j) = \phi_{(X_1,\dots,X_n)}(t_1, \dots, t_n). \]

由唯一性定理，\((Y_1, \dots, Y_n)\) 与 \((X_1, \dots, X_n)\) 同分布，故 \(X_1, \dots, X_n\) 相互独立。\(\square\)

直觉

定理 3.1 是性质 5（独立和的特征函数 = 特征函数的乘积）的多维推广和反向形式。它不仅说「独立则乘积分解」，更本质的是 「乘积可分解则独立」——这提供了判断独立性的一个充分必要条件，在统计推断中有重要应用。

4 总结¶

性质	公式
定义	\(\phi_X(t) = E e^{itX}\)
有界性	\(\vert\phi_X(t)\vert \le \phi_X(0) = 1\)
共轭对称性	\(\phi_X(t) = \overline{\phi_X(-t)} = \phi_{-X}(t)\)
线性变换	\(\phi_{aX+b}(t) = e^{ibt} \phi_X(at)\)
独立和	\(\phi_{X+Y}(t) = \phi_X(t) \phi_Y(t)\)
矩的关系	\(E(X^n) = i^{-n} \phi_X^{(n)}(0)\)
唯一性	\(F_X \leftrightarrow \phi_X\) 一一对应
连续性	\(\phi_n \to \phi\)（逐点）\(\Leftrightarrow\) \(F_n \Rightarrow F\)（弱收敛）
独立性充要条件	\(\phi_{(X_1,\dots,X_n)}(\mathbf{t}) = \prod_{k=1}^{n} \phi_{X_k}(t_k)\)

分布	特征函数 \(\phi_X(t)\)
退化分布 \(P(X=a)=1\)	\(e^{iat}\)
Bernoulli \(b(1, p)\)	\(q + pe^{it}\)
二项 \(b(n, p)\)	\((q + pe^{it})^n\)
几何 \(G(p)\)	\(\dfrac{pe^{it}}{1 - qe^{it}}\)
Poisson \(P(\lambda)\)	\(e^{\lambda(e^{it} - 1)}\)
均匀 \(U(a, b)\)	\(e^{i\frac{a+b}{2}t} \dfrac{\sin((b-a)t/2)}{(b-a)t/2}\)
指数 \(\mathrm{Exp}(\lambda)\)	\((1 - it/\lambda)^{-1}\)
正态 \(N(\mu, \sigma^2)\)	\(e^{i\mu t - \sigma^2 t^2/2}\)
Gamma \(\Gamma(n, \lambda)\)	\((1 - it/\lambda)^{-n}\)
卡方 \(\chi^2(n)\)	\((1 - 2it)^{-n/2}\)