期末复习¶
第一章¶
- 事件的相关系数：
第二章¶
重点：各种分布的概率密度和特性¶
注意，概统对密度不做要求，可以不用背，但一定要清楚图像
二项分布¶
- 期望：np，方差：np(1-p)
- 具有可加性：
几何分布¶
- 这里注意，M 最小的值为 1
- 期望：1/p ，方差：\((1-p)/p^2\)
- 几何分布有无记忆性：P(X > m + n) = P(X > m) P(X > n)
- 如果 X 只取自然数值，且有无记忆性，则 X 服从几何分布
超几何分布¶
泊松分布 Poisson¶
- 期望：λ，方差：λ
- 注意泊松分布是离散的，从 0 开始
- Poisson 定理：n 很大，p 很小，np = λ 时，二项分布可用泊松分布近似
- 泊松分布具有可加性：
均匀分布¶
- 期望：(a + b) / 2，方差：\((b-a)^2/12\)
指数分布¶
- 注意区分泊松分布，指数分布是连续的
- 指数分布也有无记忆性，无记忆的连续随机变量一定是符合指数分布的
- 期望：1/λ ，方差：\(1/λ^2\)
正态分布¶
- 关键的函数：一维标准正态分布函数
Γ分布¶
- EX = α/λ ，Var(X) = \(α/λ^2\)
- α = 1 时，伽马分布发生相变（即指数函数）
- 有可加性：
- 这个 \(X^2\) 分布在 n = 2 的时候发生相变，由单调函数变为单峰函数
F 分布¶
t 分布¶
期望和方差的性质¶
- 期望有线性性质$$ E(aX + b) = aEX + b，E(g1(X) + g2(X)) = E(g1(X)) + E(g2(X)) $$
-
\[Var(aX + b) = a^2 Var(X)\]
-
\[ Var(X) = E(X^2) - (EX)^2\]
- Chebyshev 不等式：
已知 X 的密度，求 Y 的密度的方法¶
-
一般分布
-
单调函数的密度公式
-
应用
第三章¶
一个 tip：遇到某些奇怪的证明，可以标准化，往往是思路¶
一个非常阴间且容易考的点：最大最小¶
- 这里：对于 ~U(0, 1) 的 n 个 X，给出最大值期望：n/(n + 1)，最小值期望：1/(n + 1)
从这里开始看笔记¶
这里关于 J 的求法有一个 trick：¶
- 不好求反函数的 J ，可以通过 \(J^{-1}\) 来求
- 同理代入 P 的时候，也可以直接代入 x，y，再求 u，v
经典的几个变换：¶
分布的可加性、经典结论¶
独立变量的特征数¶
协方差与相关系数¶
- Cov(X, Y) = E(XY) - EXEY
- Corr(X, Y) = Cov(X, Y) / σ(X)σ(Y)
- Var(X + Y) = Var(X) + 2Cov(X, Y) + Var(Y)
- 用内积的思维去理解，有的时候就会很容易。
- 随机向量的协方差阵是对称的非负定矩阵
正态分布的条件期望和方差：¶
重期望公式¶
一定注意：全概率公式只针对单个点，不针对范围！！！¶
- 最稳的方法就是算联合密度，再求范围。
第四章¶
概率收敛¶
特征函数¶
比较重要的性质¶
- 其余参看笔记
- 可以通过傅里叶逆变换求：密度函数
这里一定要复习留数¶
大数定律¶
-
注意大数定律的一般意义：
- X 的均值 收敛于 EX 的均值
- 因此如果独立同分布，即是收敛于 EX
-
注意切比雪夫大数定律的一般形式：
- 两两不相关、存在数学期望、方差存在且有共同的上界
- 很有用的 Khinchin 大数定律：
- 独立同分布，且有 EX，就符合大数定律
- 很容易考的马尔科夫大数定律：
- Var(\(\sum X\)) / \(n^2\) → 0
中心极限定理¶
- 这里要求：X 是独立同分布的，存在期望和方差
- 从离散到连续的修正：
第五章¶
一个核心公式¶
- 关于统计量 \(x_1, x_2 ··· x_n\) (独立同分布)，单个期望为 u，方差为 v
- 如果将样本均值记作：k
- E(k) = u，Var(k) = v/n（\(这里的方差是样本均值的方差，而不是实际分布的方差，一定要注意\)）
- 可以由独立，同分布导出
第六章¶
无偏性和有效性¶
矩估计¶
相合性¶
最大似然估计¶
- 注意：标准差的 MLE 是 \(s_n\) 而不是 s
注意一点，似然函数求不出¶
- 这时候使用定义：即找到似然函数的最大值的参数，可以不用拘泥于求导